2018自学考试《信号与系统》知识点3

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1.1.6  离散信号与抽样

由于函数Voice与PureTone的定义域Time通常是一个连续区间［α，β］Reals，因此它们称为连续时间信号。类似地，函数Image的定义域是一个连续的二维矩形，形式为［a，b］×［c，d］Reals2。然而，信号ComputerVoice与ComputerImage都具有离散时间与空间集合的定义域。信号Video也是一种离散时间信号，但它在原理上可以是一个空间连续体的函数。我们可以定义这样一个ComputerVideo函数，它的所有三个构成定义域的集合都是离散的。

对具有连续定义域的信号进行抽样也可获得离散信号。在此，我们先简单地解释抽样的目的；后续章节将对其原理进行详细讨论。连续的定义域具有无限个基本元素。即使是一个仅表示有限时间区间［0，1］Time的定义域，它也有无限个基本元素。在信号函数的值域内，也有相应的值对应于这些无限多个基本元素中的每一个。显然，这种信号不能存放在一个有限的数字存储器中，如计算机或CD-ROM。若我们希望存储这类信号，譬如Voice，则必须使用一种具有有限定义域的信号来近似它。

常用于近似一个具有连续定义域的函数如Voice或Image函数的一种方式是，对它的连续定义域进行抽样，以便获得一个具有有限定义域的函数。例1.8  若我们对一个具有10 s区间定义域的Voice进行抽样，

若抽样频率为10 kHz，即在一秒钟内抽样104次，则可得信号(1.10)

它具有赋值形式(1.11)

在式(1.10)中，均匀抽样实际上是在连续定义域［0，10］之内采集一个具有均匀间隔点的子集合。■

在该例中，抽样间隔即抽样周期是0.0001秒，它对应的抽样频率即抽样速率是104 Hz。由于连续定义域有10 s长，所以SampledVoice的定义域就有105个点。考虑抽样频率为5000 Hz的情形，这时的定义域为｛0，0.0002，…，9.9998，10｝，它的抽样点数是前面的一半。已抽样信号的定义域是有限的，它的基本元素都是离散的时间值。

还要注意，在式(1.11)中，在定义域中的每一个抽样点处，SampledVoice的气压值与Voice的气压值在同一点处完全相同；也就是说，SampledVoice确实是通过对Voice信号在离散的时间点处进行抽样而得到的。

图1.11显示了一个具有如下定义的指数函数Exp:［-1，1］→Reals:

通过对其进行抽样间隔为0.2的抽样，可获得其已抽样的信号SampledExp。由此，其定义域为由前面可知，式(1.1)描述的是一幅大小为8.5×11英寸的灰度图像，由该式所得图像的连续定义域是一个表示该幅面大小的矩形区域［0，11］×［0，8.5］。在这种情况下，一种使用有限定义域信号来对图像进行近似的常用方法就是对该矩形区域进行抽样。譬如，在矩形的长与宽方向上以100个点/英寸的空间分辨率来进行均匀抽样，即可得出一个有限定义域D={0，0.01，…，8.49，8.5}×{0，0.01，…，10.99，11.0}。因此，已抽样的灰度图像是

与

如前所述，图像的每一个抽样点称为像素，而图像的大小也常以它有多少像素来确定。如计算机屏幕显示的大小可用600×800或768×1024像素来表示。

图1.11  指数函数ex(左)及以0.2的抽样间隔对ex进行抽样的SampledExp函数(右)

抽样与近似

设f是一个连续时间函数，而Sampledf是一个对f进行抽样后得到的离散时间函数。假定我们已经给定一个如图1.12中的左图所示的Sampledf，我们能够由这个已抽样的函数Sampledf来重构或恢复出原来的函数f吗？这一问题正是数字存储与通信技术的核心问题。对这一问题的一般回答告诉我们，若考虑声音信号，则为我们从给定的声音信号的离散表达式中能获得什么样的音频信号质量。光盘的格式也基于对该问题的回答。我们将在后面的章节中对其进行详细讨论。

注意，对上面所提问题的简短回答是不能。例如，我们不能确定图1.12中的左图所示的离散时间函数是通过对图中间所示的连续时间函数进行抽样所得，还是通过对图右所示的函数抽样所得。确实，有无数多的这类连续函数，但必须确定一种选择。一种可选方案是用直线段连接已抽样值，如图1.12中的中图所示。另一种选择如图1.12中的右图所示。而由一个CD播放机做出的选择则与前两种情形大不相同，关于这一点，我们将在第11章中进一步探讨。

类似地，一幅图像，如Image，就不能惟一地从它的已抽样版本SampledImage中恢复出来。通常，这种恢复过程有几种不同的选择。

数字信号与量化

即使例1.8中的SampledVoice具有有限的定义域，我们也许仍不能将它存储在一个有限容量的存储器内。为了弄懂这一点，假定函数SampledVoice的值域Pressure在连续区间［a，b］内。显然，需要无限的精度才能表示出区间［a，b］内的每一个值。在计算机中，数据是由有限的数字位组合来表示的，若想表示这种无限精度的一个样值，则需无限多的位。然而，一个有限的数字存储器只有有限的字长，因而只能用来存储有限个数的数值。譬如，若一个字是8位长，则它就能存储28个或256个不同的数值。因此，我们必须对值域［a，b］内的每个样本值做出近似，即用256个值中的一个来表示。最常用的近似方法就是对信号值进行量化。一种常见的处理是在值域［a，b］内选择256个均匀间隔的值，而对于［a，b］内的每个抽样值就用那256个量化值中的一个最接近它的值来近似表示。另一种称为截短的近似方法是在256个值中选择一个不超过所需值的zui大值。图1.12  左图的离散时间信号可通过对中图或右图的连接时间信号进行抽样得到

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