2018年高考数学基础知识模拟题4

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三、解答题

11.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(-1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.

解析：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获走私船(在D点)，

则CD=10t海里，BD=10t海里.

在ABC中，由余弦定理 ，得

BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A

=(-1)2+22-2(-1)·2·cos 120°=6，

BC=(海里).

由正弦定理知=，

sin ∠ABC===，

ABC=45°， B点在C点的正东方向上，

CBD=90°+30°=120°.

在BCD中，由正弦定理，得

=，

sin ∠BCD=

==，

BCD=30°， 缉私船沿北偏东60°的方向行驶.

又在BCD中，CBD=120°，BCD=30°，

D=30°，

BD=BC，即10t=，

t=小时≈15分钟.

故缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.

12.已知向量m=sin(A-B)，sin，n=(1,2sin B)，m·n=sin 2C，其中A，B，C分别为ABC的三边a，b，c所对的角.

(1)求角C的大小;

(2)若sin A+sin B=2sin C，且SABC=，求边c的长.

解析：(1) m·n=sin(A-B)+2cos Asin B

=sin Acos B+cos Acos B=sin(A+B)，

在ABC中，A+B=π-C且0

sin(A+B)=sin C，

又 m·n=sin 2C，

sin C=sin 2C=2cos Csin C，

cos C=， C=.

(2) sin A+sin B=2sin C，

由正弦定理得a+b=2c，

SABC=absin C=ab=，得ab=4，

由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcos C

=(a+b)2-3ab=4c2-12，

c=2.

13.在ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，已知b2+c2=a2+bc.

(1)求角A的大小;

(2)若2sin2+2sin2=1，试判断ABC的形状.

解析：(1)b2+c2=a2+bc，

所以cos A===，

又A(0，π)，得到A=.

(2) 2sin2+2sin2=1，

1-cos B+1-cos C=1，

cos B+cos C=1，

即cos B+cos=1，得到

sin=1，

0

B+=，

B=，ABC为等边三角形.

14.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2-cos 2A=.

(1)求A的度数;

(2)若a=，b+c=3，求b，c的值.

解析：(1) B+C=π-A，即=-，

由4sin2-cos 2A=，

得4cos2-cos 2A=，

即2(1+cos A)-(2cos2A-1)=，

整理得4cos2A-4cos A+1=0，

即(2cos A-1)2=0.

cos A=，又0°

(2)由A=60°，根据余弦定理cos A=，得=，

b2+c2-bc=3，

又b+c=3，

∴ b2+c2+2bc=9.

①-得bc=2.

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